python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

生成一个混合信号

fs = 500 # 采样频率 Hz t = np.arange(0, 1, 1/fs) f1, f2 = 50, 120 signal = np.sin(2np.pif1t) + 0.7np.sin(2np.pif2t) + 0.2np.random.randn(len(t))

计算FFT

N = len(signal) fft_result = np.fft.fft(signal)

只取正频率部分（单边谱）

freqs = np.fft.fftfreq(N, 1/fs) half = N // 2 pos_freq = freqs[:half] magnitude = np.abs(fft_result[:half]) * 2 / N # 归一化幅度

画出时域和频域

plt.subplot(2,1,1) plt.plot(t, signal) plt.title('时域信号') plt.subplot(2,1,2) plt.stem(pos_freq, magnitude) plt.title('幅度谱（FFT特征）') plt.xlabel('频率 Hz') plt.tight_layout()

你会看到两个明显的峰值落在50Hz和120Hz，高度分别约1.0和0.7，完美还原了信号成分。**这些幅值就是最基础的傅里叶变换特征**。

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## 第三部分：构建高信息密度的频谱特征

原始FFT结果长度等于信号点数，维度太高，不适合直接送入模型。我们需要凝练成有物理意义、且对噪声鲁棒的统计量。

### 3.1 功率谱密度（PSD）

功率谱密度（Power Spectral Density）使用信号能量的平方，更能反映信号在每个频段的平均功率。常用Welch方法（分段加窗平均）获得平滑估计：

```python
from scipy.signal import welch
freqs, psd = welch(signal, fs, nperseg=256)

以PSD值为特征，可以用频段的平均功率、积分功率作为后续输入。

3.2 频谱统计特征

对整个频谱或特定频段提取标量特征，极大降低维度：

• 谱质心（Spectral Centroid）：频谱的“重心”频率，表示能量集中在哪里。
  [ Centroid = \frac{\sum f \cdot M[f]}{\sum M[f]} ] 其中 M[f] 是频率 f 处的幅度。
• 谱带宽（Spectral Bandwidth）：频谱分布的宽度，反映纯净度。
• 谱滚降点（Spectral Roll-off）：能量累积到总能量85%时的频率，区分有调性与无调性声音。
• 谱熵（Spectral Entropy）：将归一化频谱视为概率分布，计算熵，衡量信号的复杂度/随机性。
• 频谱峰度与偏度：刻画谱形状的统计矩。

这些特征常用于音频分类、机械故障诊断和脑电信号分析。

3.3 频带能量特征

将频谱划分为多个频带（如 delta, theta, alpha, beta, gamma 脑波频段），计算每个频带的平均能量或相对能量比，可得到数个高度解释性的特征。例如，对一段振动信号，可以提取0-100Hz、100-200Hz等区间的能量，作为输入给分类器判断设备状态。

3.4 梅尔频率倒谱系数（MFCCs）——人耳启发的特征

在语音和音频处理中，MFCCs 是统治级特征。它将频谱映射到梅尔刻度（模拟人耳对低频分辨更高），然后对对数频谱做离散余弦变换（DCT），得到少量去相关后的系数。通常取前12-13个系数，再加上一、二阶差分形成39维特征。可直接用 librosa 库提取：

import librosa
mfccs = librosa.feature.mfcc(y=signal, sr=fs, n_mfcc=13)

MFCCs 虽然是对频谱的再次压缩变换，但其根基仍是傅里叶频谱，可作为高阶特征。

第四部分：工程实践要点与避坑指南

4.1 采样与频率分辨率

频率分辨率 Δf = fs / N。如果需要对低频成分区分更细，要么降低 fs，要么增加分析时间长度 N（即采集更长的信号）。但增加 N 又可能引入信号的不平稳问题，需要在窗口分析中取得平衡。

4.2 窗口函数缓解频谱泄漏

直接截取一段信号做FFT相当于加矩形窗，会在真实频率附近产生旁瓣，模糊频谱。施加汉宁窗 (Hanning) 或汉明窗 (Hamming) 可以显著抑制泄漏：

windowed = signal * np.hanning(N)
fft_improved = np.fft.fft(windowed)

在提取特征前务必考虑加窗。

4.3 短时傅里叶变换（STFT）捕获时变特性

许多信号的频率成分随时间变化（如语音、音乐）。用一个FFT处理整段信号会彻底丢失时间信息。STFT通过滑动时间窗口，逐段计算FFT，得到一个频谱图（spectrogram）——横轴时间、纵轴频率、颜色代表幅度。频谱图本身可以作为二维特征输入CNN进行图像式识别。

f, t_spec, Zxx = signal.spectrogram(signal, fs, nperseg=256, noverlap=128)